正多边形的不寻常作图法（上）

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注：不使用量角器、阿基米德螺线、割圆曲线、极坐标系参数曲线、整系数多项式一元函数曲线，支持折叠或旋转刻度尺和圆规，没有理论上的误差。以下多边形单用无刻度直尺和圆规无法作出！

一．7边形

第一种作法

1.如下图。作圆O，半径OA，作OA中垂线l。

2.直尺绕着O点转动，同直线l交于P，线段OP交圆O于Q。

3.用圆规两脚间距检验比较线段PQ和AQ的长度，转动直尺直到PQ=AQ后，描出点P。

4.作OP线段中垂线m，同l交于X。以OX为半径作圆X。

5.圆X内接正七边形边长刚好是OA。

原理：等腰三角形ABC中，AB=AC＞BC，而D是线段AC上一点，且CD=BC。如果AD=BD则顶角BAC=180/7°。

第二种作法

1.如下图。作圆O，半径A0A，垂直于A0A的半径AB。

2.半径AB的圆A，直尺绕O点转动交OA中垂线于D，线段OD交圆O于A2，交圆A于C。

3.转动直尺直到OA=CD，那么弧A0A2是2/7个圆周。

原理：等腰三角形ABC中，AB=AC＞BC，而D是线段AC上一点，且AD=BC。如果BD=sqrt(2)*BC则底角BAC=540/7°。大家不妨根据余弦定理推出，1+(2*sin(pi/14))^(-2)-2*cos(pi/7)/(2*sin(pi/14))的值恰好等于2。

第三种作法

1.如下图。作圆O半径为6，直径AA0，OA处截取线段OP=1。

2.以OA为半径作圆A0，圆A，两个圆分别交圆O于B，C，且在直径AA0同侧。

3.连接BC，交AA0线段的中垂线于D。

4.作圆P，以PD为半径。直尺绕着D转，交圆P于E，交直线AA0于F。

5.直到EF=PD，作圆P直径EG。

6.经G点作直线AA0垂线，交圆O于A1, A6。弧A1A0的弧度正好是1/7圆周。

原理：2*cos(2*pi/7)是一元三次方程x^3+x^2-2*x-1=0最大的根。依据卡尔丹公式能算出其值是(-1+(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3))/3。为什么不能是其他两个根(-1+(-1+sqrt(-3))/2*(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(-1-sqrt(-3))/2*(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3))/3或者(-1+(-1-sqrt(-3))/2*(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(-1+sqrt(-3))/2*(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3))/3？留给大家思考。其中(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)是个三次复根式，模长是343的1/6次方，而辐角可以算出来是1/sqrt(28)反余弦弧度值的1/3抑或是3*sqrt(3)反正切弧度值的1/3。从而根据共轭复数的知识，(3.5+10.5*sqrt(-3))^(1/3)+(3.5-10.5*sqrt(-3))^(1/3)=2*sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)。上述作图过程，正好通过巧妙的三等分角方法做出了长度为2*sqrt(7)*cos(arctan(3*sqrt(3))/3)的线段PX，其中X是直线A1A6同AA0的交点。

第四种作法

1.如下图。作大圆O半径OP为3.5，从OP截取OR=3.25。

2.经过R作OP的垂线，交大圆O于Q。

3.三等分弧PQ得到PS弧，可参前面的方法实现三等分任意角。

4.作半径为2的小圆O，并交线段OS于J。J在线段OP的投影为I。

5.从OP截取线段OM=sqrt(7)*(OI-1)/3（显然能尺规作图得到）。

6.过M作OP垂线，交小圆O于K。垂直于OP的小圆O半径为OA。AK的弧度恰好为pi/7。

原理：2*sin(pi/7)=(-sqrt(7)+(6.5*sqrt(7)+1.5*sqrt(-21))^(1/3)+(6.5*sqrt(7)-1.5*sqrt(-21))^(1/3))/3又可以简写成sqrt(7)*(-1+2cos(arccos(13/14)/3))/3，是三次方程x^3+sqrt(7)*x^2-sqrt(7)=0最大的一个根。通过三等分角arccos(13/14)（数值很小，普通圆规刻度尺作误差大），作出线段长度为2cos(arccos(13/14)/3)就离作出正七边形不远了。

其他作图方法，欢迎大家交流！

二．9边形

1.如下图作圆O，直径AA0，作半径为OA的圆A，交圆O于A3、A6。

2.直尺绕着A3转，交圆A于B，交直线AA0于C。直到BC=OA。

3.BA延长线交圆O于A8。A0A8的弧度就是九分之一圆周。

原理：cos(pi/3)=1/2，但4*cos(pi/9)=(4+4*sqrt(-3))*(1/3)+(4-4*sqrt(-3))*(1/3)是无法尺规作出的！然而只要巧妙地运用转尺三等分60度角，作九边形轻而易举。

其他作图方法，欢迎大家交流！你可以基于n*pi/9的正切值、余切值去构想，也可以根据顶角是20倍数的等腰非等边三角形的几何性质去构思。

三．11边形

第一种作法

1.如下图。作圆O，半径OE1=10/sqrt(11)，y轴方向。

2.x轴上作OP=1，OE=1.25，EQ=OE/sqrt(5)。圆Q半径为1.09，同x轴交于T1、T2。

3.作半径4.84的大圆E，过T1、T2作x轴垂线交上半圆E于S1、S2。

4.作半径2的小圆E，交线段ES1、ES2于R1、R2。

5.最重要一步：可折叠直尺始终过R1点，第一段R1A，第二段AH，R1、A、H共线，H在x轴上。第二段绕点A转，原来的H点再次落在x轴上即为点I，用圆规对比EI、AH的长度。倘若EI=AH，不再调整A点位置，此时角AEI=1/5*角T1ER1。然后延长AE交小圆E于V1，作过V1的x轴垂线交其于U1。

6.根据第5步的操作要领，作1/5角T2ER2。然后加上36度角（正五边形能尺规作，36度角也能尺规作）。这个角的一边为ET2，另一边则交小圆E于V2。作过V2 的x轴垂线交其于U2。

7.在线段OH上截取OZ=OP+EU1-EU2。这样一来，OZ与OE1之比正好是sin(2*pi/11)！

8.经过Z点作x轴垂线交上半圆O于E2，E1E2即为圆内接正11边形边长。

原理：2*sin(2*pi/11)是方程x^5-sqrt(11)*x^4+3*sqrt(11)*x^2-11*x+sqrt(11)=0的一个根。这个五次方程虽不可约却是特殊形式，有解析解。通过相关求根公式以及数值检验得到2*sin(2*pi/11)=0.1*(2*sqrt(11)+e3*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2)，ei=exp(2*i*pi*j/5), i=1,2,3,4。具体表达式：e1=(-1+sqrt(5)+sqrt(-10-2*sqrt(5)))/4;e2=(-1-sqrt(5)+sqrt(-10+2*sqrt(5)))/4;

e3=(-1-sqrt(5)-sqrt(-10+2*sqrt(5)))/4; e4=(-1+sqrt(5)-sqrt(-10-2*sqrt(5)))/4。化简成三角函数的加减组合表达式：sin(2*pi/11)=0.1*sqrt(11)*(1-2*cos(0.2*arccos((109+25*sqrt(5))/484)+pi/5)+2*cos(0.2*arccos((109-25*sqrt(5))/484)))。这样就能很清楚地指引11边形的5等分角作图。

第二种作法

1~6同第一种的前6步。

7.从点O出发，沿着x轴正方向作OM=6OP+4EU2-4EU1，则角OE1M=3*pi/11。翻倍后即得到3/11圆周。

原理：tan(3*pi/11)=sqrt(11)-4*sin(2*pi/11)=0.2*sqrt(11)*(3+4*cos(0.2*arccos((109+25*sqrt(5))/484)+pi/5)-4*cos(0.2*arccos((109-25*sqrt(5))/484)))

第三种作法

1.如下图。作大圆O，半径OE0=10，x轴方向。延长E1O作点A，OA=1。

2.再作半径2*sqrt(11)的小圆O。从OE0截取线段OT=25*sqrt(5)/22。作圆T其半径为89/22，同x轴左交点为U1、右交点U2。

3.从U1、U2引x轴垂线交小圆O上半弧于R1、R2。

4.作五分之一的角E0OR2再加上36度，得到角E0OS2，S2在小圆O弧上。作五分之一的角AOR1再加上36度，得角AOS1，S1也在小圆O弧上。

5.S1、S2在x轴投影为V1、V2，作线段AE=OV1+OV2，E在x轴上A点右侧。

6.从E点引x轴垂线交大圆O于E1、E10，线段E1E0或E10E0即为大圆O内接正11边形边长。

原理：2*cos(2*pi/11)是x^5+x^4-4*x^3-3*x^2+3*x+1=0的五个实数根最大者。而该五次方程是具有解析解的。其根最大者就是0.1*(-2-e3*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2)，e1~e4依次是辐角为2*pi/5~8*pi/5的4个5次单位根。cos(2*pi/11)可以简写为-0.1+2*sqrt(11)/5*(cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)+cos(0.2*arccos((89+25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5))。通过5等分角，可以构造出长度为cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)和cos(0.2*arccos((89-25*sqrt(5))/(44*sqrt(11)))+pi/5)的线段，并乘以2*sqrt(11)倍。二者之和减去1，即为10*cos(2*pi/11)。

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关键词： 尺规作图