前面章节，已经声明w1~w10的值。

三．求sin(2*n*pi/23)。

1.类似与求cos(2*n*pi/23)。但我们要强行在sin(2*n*pi/23)乘上sqrt(23)，这样才能方便计算。sin(2*n*pi/23)的表达式与cos(2*n*pi/23)有着类似的格式，同样有10个共轭11次根式。进行剥离。

(资料图)

A0=2*sqrt(23)*(sin(2*pi/23)+sin(4*pi/23)+sin(8*pi/23)+sin(16*pi/23)+sin(32*pi/23)+sin(18*pi/23)+sin(36*pi/23)+sin(26*pi/23)+sin(6*pi/23)+sin(12*pi/23)+sin(24*pi/23))=sqrt(23);

A1=2*sqrt(23)*(sin(2*pi/23)+w1*sin(4*pi/23)+w2*sin(8*pi/23)+w3*sin(16*pi/23)+w4*sin(32*pi/23)+w5*sin(18*pi/23)+w6*sin(36*pi/23)+w7*sin(26*pi/23)+w8*sin(6*pi/23)+w9*sin(12*pi/23)+w10*sin(24*pi/23));

A2=2*sqrt(23)*(sin(2*pi/23)+w2*sin(4*pi/23)+w4*sin(8*pi/23)+w6*sin(16*pi/23)+w8*sin(32*pi/23)+w10*sin(18*pi/23)+w1*sin(36*pi/23)+w3*sin(26*pi/23)+w5*sin(6*pi/23)+w7*sin(12*pi/23)+w9*sin(24*pi/23));

A3=2*sqrt(23)*(sin(2*pi/23)+w3*sin(4*pi/23)+w6*sin(8*pi/23)+w9*sin(16*pi/23)+w1*sin(32*pi/23)+w4*sin(18*pi/23)+w7*sin(36*pi/23)+w10*sin(26*pi/23)+w2*sin(6*pi/23)+w5*sin(12*pi/23)+w8*sin(24*pi/23));

A4=2*sqrt(23)*(sin(2*pi/23)+w4*sin(4*pi/23)+w8*sin(8*pi/23)+w1*sin(16*pi/23)+w5*sin(32*pi/23)+w9*sin(18*pi/23)+w2*sin(36*pi/23)+w6*sin(26*pi/23)+w10*sin(6*pi/23)+w3*sin(12*pi/23)+w7*sin(24*pi/23));

A5=2*sqrt(23)*(sin(2*pi/23)+w5*sin(4*pi/23)+w10*sin(8*pi/23)+w4*sin(16*pi/23)+w9*sin(32*pi/23)+w3*sin(18*pi/23)+w8*sin(36*pi/23)+w2*sin(26*pi/23)+w7*sin(6*pi/23)+w1*sin(12*pi/23)+w6*sin(24*pi/23));

A6=529/A5; A7=529/A4; A8=529/A3; A9=529/A2; A1=529/A10。

A1~A10都是纯11次复根式，模长都等于23。

2.求取11次根式里面的表达式。

B1=A1^11/(23^6);B2=A2^11/(23^6);B3=A3^11/(23^6);B4=A4^11/(23^6);B5=A5^11/(23^6);

B6=A6^11/(23^6);B7=A7^11/(23^6);B8=A8^11/(23^6);B9=A9^11/(23^6);B10=A10^11/(23^6);

以上假设全都能用11次单位根线性表示。待定系数：B0=23^5;

(B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7+B8+B9+B10+B0)/11=-829102;

(B1/w1+B2/w2+B3/w3+B4/w4+B5/w5+B6/w6+B7/w7+B8/w8+B9/w9+B10/w10+B0)/121=273485;

(B1/w2+B2/w4+B3/w6+B4/w8+B5/w10+B6/w1+B7/w3+B8/w5+B9/w7+B10/w9+B0)/121=212389;

(B1/w3+B2/w6+B3/w9+B4/w1+B5/w4+B6/w7+B7/w10+B8/w2+B9/w5+B10/w8+B0)/121=65127;

(B1/w4+B2/w8+B3/w1+B4/w5+B5/w9+B6/w2+B7/w6+B8/w10+B9/w3+B10/w7+B0)/121=265126;

(B1/w5+B2/w10+B3/w4+B4/w9+B5/w3+B6/w8+B7/w2+B8/w7+B9/w1+B10/w6+B0)/121=-115404;

(B1/w6+B2/w1+B3/w7+B4/w2+B5/w8+B6/w3+B7/w9+B8/w4+B9/w10+B10/w5+B0)/121=146622;

(B1/w7+B2/w3+B3/w10+B4/w6+B5/w2+B6/w9+B7/w5+B8/w1+B9/w8+B10/w4+B0)/121=-115075;

(B1/w8+B2/w5+B3/w2+B4/w10+B5/w7+B6/w4+B7/w1+B8/w9+B9/w6+B10/w3+B0)/121=129386;

(B1/w9+B2/w7+B3/w5+B4/w3+B5/w1+B6/w10+B7/w8+B8/w6+B9/w4+B10/w2+B0)/121=68562;

(B1/w10+B2/w9+B3/w8+B4/w7+B5/w6+B6/w5+B7/w4+B8/w3+B9/w2+B10/w1+B0)/121=-269723;

计算出B1~B10，重组，乘以sqrt(23)转换成T1~T10，每一个T值的模长平方都是23^11。

T1=2137851*sqrt(23)+11*sqrt(23)*(543208*w1+482112*w2+334850*w3+534849*w4+154319*w5+416345*w6+154648*w7+399109*w8+338285*w9);

T2=2137851*sqrt(23)+11*sqrt(23)*(543208*w2+482112*w4+334850*w6+534849*w8+154319*w10+416345*w1+154648*w3+399109*w5+338285*w7);

T3=2137851*sqrt(23)+11*sqrt(23)*(543208*w3+482112*w6+334850*w9+534849*w1+154319*w4+416345*w7+154648*w10+399109*w2+338285*w5);

T4=2137851*sqrt(23)+11*sqrt(23)*(543208*w4+482112*w8+334850*w1+534849*w5+154319*w9+416345*w2+154648*w6+399109*w10+338285*w3);

T5=2137851*sqrt(23)+11*sqrt(23)*(543208*w5+482112*w10+334850*w4+534849*w9+154319*w3+416345*w8+154648*w2+399109*w7+338285*w1);

T6=23^11/T5; T7=23^11/T4; T8=23^11/T3; T9=23^11/T2; T10=23^11/T1;

以下S1~S10与A1~A10的辐角相差2*pi/11的整数倍。

S1=(T1)^(1/11); S2=(T2)^(1/11); S3=(T3)^(1/11); S4=(T4)^(1/11); S5=(T5)^(1/11);

S6=(T6)^(1/11); S7=(T7)^(1/11); S8=(T8)^(1/11); S9=(T9)^(1/11); S10=(T10)^(1/11);

3.最后一步。比对辐角主值并整合组装得到：

sin(2*pi/23)=(sqrt(23)+S1+S10+w5*S2+w6*S9+w4*S3+w7*S8+w10*S4+w1*S7+w3*S5+w8*S6)/22;

sin(4*pi/23)=(sqrt(23)+w10*S1+w1*S10+w3*S2+w8*S9+w1*S3+w10*S8+w6*S4+w5*S7+w9*S5+w2*S6)/22;

sin(8*pi/23)=(sqrt(23)+w9*S1+w2*S10+w1*S2+w10*S9+w9*S3+w2*S8+w2*S4+w9*S7+w4*S5+w7*S6)/22;

sin(16*pi/23)=(sqrt(23)+w8*S1+w3*S10+w10*S2+w1*S9+w6*S3+w5*S8+w9*S4+w2*S7+w10*S5+w1*S6)/22;

sin(32*pi/23)=(sqrt(23)+w7*S1+w4*S10+w8*S2+w3*S9+w3*S3+w8*S8+w5*S4+w6*S7+w5*S5+w6*S6)/22;

sin(18*pi/23)=(sqrt(23)+w6*S1+w5*S10+w6*S2+w5*S9+S3+S8+w1*S4+w10*S7+S5+S6)/22;

sin(36*pi/23)=(sqrt(23)+w5*S1+w6*S10+w4*S2+w7*S9+w8*S3+w3*S8+w8*S4+w3*S7+w6*S5+w5*S6)/22;

sin(26*pi/23)=(sqrt(23)+w4*S1+w7*S10+w2*S2+w9*S9+w5*S3+w6*S8+w4*S4+w7*S7+w1*S5+w10*S6)/22;

sin(6*pi/23)=(sqrt(23)+w3*S1+w8*S10+S2+S9+w2*S3+w9*S8+S4+S7+w7*S5+w4*S6)/22;

sin(12*pi/23)=(sqrt(23)+w2*S1+w9*S10+w9*S2+w2*S9+w10*S3+w1*S8+w7*S4+w4*S7+w2*S5+w9*S6)/22;

sin(24*pi/23)=(sqrt(23)+w1*S1+w10*S10+w7*S2+w4*S9+w7*S3+w4*S8+w3*S4+w8*S7+w8*S5+w3*S6)/22;

四. 所有的23次复数单位根（逆时针旋转2*pi/23排列，从exp(2*pi*j/23)开始）

exp(2*pi*j/23)=(-1+w3*G1+w8*G10+w1*G2+w10*G9+w2*G3+w9*G8+w8*G4+w3*G7+G5+G6+j*(sqrt(23)+S1+S10+w5*S2+w6*S9+w4*S3+w7*S8+w10*S4+w1*S7+w3*S5+w8*S6))/22;

exp(4*pi*j/23)=(-1+w1*G1+w10*G10+w8*G2+w3*G9+w7*G3+w4*G8+G4+G7+w1*G5+w10*G6+j*(sqrt(23)+w10*S1+w1*S10+w3*S2+w8*S9+w1*S3+w10*S8+w6*S4+w5*S7+w9*S5+w2*S6))/22;

exp(6*pi*j/23)=(-1+w9*G1+w2*G10+w2*G2+w9*G9+w9*G3+w2*G8+w10*G4+w1*G7+w8*G5+w3*G6+j*(sqrt(23)+w3*S1+w8*S10+S2+S9+w2*S3+w9*S8+S4+S7+w7*S5+w4*S6))/22;

exp(8*pi*j/23)=(-1+w10*G1+w1*G10+w4*G2+w7*G9+w1*G3+w10*G8+w3*G4+w8*G7+w2*G5+w9*G6+j*(sqrt(23)+w9*S1+w2*S10+w1*S2+w10*S9+w9*S3+w2*S8+w2*S4+w9*S7+w4*S5+w7*S6))/22;

exp(10*pi*j/23)=(-1+w2*G1+w9*G10+w10*G2+w1*G9+w10*G3+w1*G8+w4*G4+w7*G7+w6*G5+w5*G6-j*(sqrt(23)+w5*S1+w6*S10+w4*S2+w7*S9+w8*S3+w3*S8+w8*S4+w3*S7+w6*S5+w5*S6))/22;

exp(12*pi*j/23)=(-1+w7*G1+w4*G10+w9*G2+w2*G9+w3*G3+w8*G8+w2*G4+w9*G7+w9*G5+w2*G6+j*(sqrt(23)+w2*S1+w9*S10+w9*S2+w2*S9+w10*S3+w1*S8+w7*S4+w4*S7+w2*S5+w9*S6))/22;

exp(14*pi*j/23)=(-1+w6*G1+w5*G10+w7*G2+w4*G9+G3+G8+w9*G4+w2*G7+w4*G5+w7*G6-j*(sqrt(23)+w7*S1+w4*S10+w8*S2+w3*S9+w3*S3+w8*S8+w5*S4+w6*S7+w5*S5+w6*S6))/22;

exp(16*pi*j/23)=(-1+w8*G1+w3*G10+G2+G9+w6*G3+w5*G8+w6*G4+w5*G7+w3*G5+w8*G6+j*(sqrt(23)+w8*S1+w3*S10+w10*S2+w1*S9+w6*S3+w5*S8+w9*S4+w2*S7+w10*S5+w1*S6))/22;

exp(18*pi*j/23)=(-1+w4*G1+w7*G10+w3*G2+w8*G9+w5*G3+w6*G8+w1*G4+w10*G7+w5*G5+w6*G6+j*(sqrt(23)+w6*S1+w5*S10+w6*S2+w5*S9+S3+S8+w1*S4+w10*S7+S5+S6))/22;

exp(20*pi*j/23)=(-1+G1+G10+w6*G2+w5*G9+w4*G3+w7*G8+w7*G4+w4*G7+w7*G5+w4*G6-j*(sqrt(23)+w4*S1+w7*S10+w2*S2+w9*S9+w5*S3+w6*S8+w4*S4+w7*S7+w1*S5+w10*S6))/22;

exp(22*pi*j/23)=(-1+w5*G1+w6*G10+w5*G2+w6*G9+w8*G3+w3*G8+w5*G4+w6*G7+w10*G5+w1*G6-j*(sqrt(23)+w1*S1+w10*S10+w7*S2+w4*S9+w7*S3+w4*S8+w3*S4+w8*S7+w8*S5+w3*S6))/22;

exp(24*pi*j/23)=(-1+w5*G1+w6*G10+w5*G2+w6*G9+w8*G3+w3*G8+w5*G4+w6*G7+w10*G5+w1*G6+j*(sqrt(23)+w1*S1+w10*S10+w7*S2+w4*S9+w7*S3+w4*S8+w3*S4+w8*S7+w8*S5+w3*S6))/22;

exp(26*pi*j/23)=(-1+G1+G10+w6*G2+w5*G9+w4*G3+w7*G8+w7*G4+w4*G7+w7*G5+w4*G6+j*(sqrt(23)+w4*S1+w7*S10+w2*S2+w9*S9+w5*S3+w6*S8+w4*S4+w7*S7+w1*S5+w10*S6))/22;

exp(28*pi*j/23)=(-1+w4*G1+w7*G10+w3*G2+w8*G9+w5*G3+w6*G8+w1*G4+w10*G7+w5*G5+w6*G6-j*(sqrt(23)+w6*S1+w5*S10+w6*S2+w5*S9+S3+S8+w1*S4+w10*S7+S5+S6))/22;

exp(30*pi*j/23)=(-1+w8*G1+w3*G10+G2+G9+w6*G3+w5*G8+w6*G4+w5*G7+w3*G5+w8*G6-j*(sqrt(23)+w8*S1+w3*S10+w10*S2+w1*S9+w6*S3+w5*S8+w9*S4+w2*S7+w10*S5+w1*S6))/22;

exp(32*pi*j/23)=(-1+w6*G1+w5*G10+w7*G2+w4*G9+G3+G8+w9*G4+w2*G7+w4*G5+w7*G6+j*(sqrt(23)+w7*S1+w4*S10+w8*S2+w3*S9+w3*S3+w8*S8+w5*S4+w6*S7+w5*S5+w6*S6))/22;

exp(34*pi*j/23)=(-1+w7*G1+w4*G10+w9*G2+w2*G9+w3*G3+w8*G8+w2*G4+w9*G7+w9*G5+w2*G6-j*(sqrt(23)+w2*S1+w9*S10+w9*S2+w2*S9+w10*S3+w1*S8+w7*S4+w4*S7+w2*S5+w9*S6))/22;

exp(36*pi*j/23)=(-1+w2*G1+w9*G10+w10*G2+w1*G9+w10*G3+w1*G8+w4*G4+w7*G7+w6*G5+w5*G6+j*(sqrt(23)+w5*S1+w6*S10+w4*S2+w7*S9+w8*S3+w3*S8+w8*S4+w3*S7+w6*S5+w5*S6))/22;

exp(38*pi*j/23)=(-1+w10*G1+w1*G10+w4*G2+w7*G9+w1*G3+w10*G8+w3*G4+w8*G7+w2*G5+w9*G6-j*(sqrt(23)+w9*S1+w2*S10+w1*S2+w10*S9+w9*S3+w2*S8+w2*S4+w9*S7+w4*S5+w7*S6))/22;

exp(40*pi*j/23)=(-1+w9*G1+w2*G10+w2*G2+w9*G9+w9*G3+w2*G8+w10*G4+w1*G7+w8*G5+w3*G6-j*(sqrt(23)+w3*S1+w8*S10+S2+S9+w2*S3+w9*S8+S4+S7+w7*S5+w4*S6))/22;

exp(42*pi*j/23)=(-1+w1*G1+w10*G10+w8*G2+w3*G9+w7*G3+w4*G8+G4+G7+w1*G5+w10*G6-j*(sqrt(23)+w10*S1+w1*S10+w3*S2+w8*S9+w1*S3+w10*S8+w6*S4+w5*S7+w9*S5+w2*S6))/22;

exp(44*pi*j/23)=(-1+w3*G1+w8*G10+w1*G2+w10*G9+w2*G3+w9*G8+w8*G4+w3*G7+G5+G6-j*(sqrt(23)+S1+S10+w5*S2+w6*S9+w4*S3+w7*S8+w10*S4+w1*S7+w3*S5+w8*S6))/22.

哇哦豁，真的一言难尽啊！

关键词： T-10 一言难尽