一.5次和11次单位根

1.五次单位根完整解析式。

e1=(-1+sqrt(5)+sqrt(-10-2*sqrt(5)))/4; e2=(-1-sqrt(5)+sqrt(-10+2*sqrt(5)))/4;

(资料图)

e3=(-1-sqrt(5)-sqrt(-10+2*sqrt(5)))/4; e4=(-1+sqrt(5)-sqrt(-10-2*sqrt(5)))/4;

j=sqrt(-1);

2.十一次单位根完整解析式。

w1=exp(2*pi*j/11)=0.05*(-2-e3*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2+j*(2*sqrt(11)+e3*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w2=exp(4*pi*j/11)=0.05*(-2-e2*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e1*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e4*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-j*(2*sqrt(11)+e2*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e3*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e3*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w3=exp(6*pi*j/11)=0.05*(-2-(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2+j*(2*sqrt(11)+(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e1*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e4*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w4=exp(8*pi*j/11)=0.05*(-2-e1*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e4*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e4*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e1*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2+j*(2*sqrt(11)+e1*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e4*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e4*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e1*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w5=exp(10*pi*j/11)=0.05*(-2-e4*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e1*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2+j*(2*sqrt(11)+e4*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e1*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e3*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w6=exp(12*pi*j/11)=0.05*(-2-e4*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e1*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-j*(2*sqrt(11)+e4*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e1*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e3*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w7=exp(14*pi*j/11)=0.05*(-2-e1*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e4*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e4*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e1*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-j*(2*sqrt(11)+e1*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e4*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e4*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e1*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w8=exp(16*pi*j/11)=0.05*(-2-(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-j*(2*sqrt(11)+(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e1*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e4*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w9=exp(18*pi*j/11)=0.05*(-2-e2*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e1*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e4*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2+j*(2*sqrt(11)+e2*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e3*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+e3*(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

w10=exp(20*pi*j/11)=0.05*(-2-e3*(7832+2200*sqrt(5)+440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832+2200*sqrt(5)-440*sqrt(410-178*sqrt(5))*j)^0.2-e3*(7832-2200*sqrt(5)+440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-e2*(7832-2200*sqrt(5)-440*sqrt(410+178*sqrt(5))*j)^0.2-j*(2*sqrt(11)+e3*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)+40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+e2*(872*sqrt(11)+200*sqrt(55)-40*sqrt(96470-2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)+40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2+(872*sqrt(11)-200*sqrt(55)-40*sqrt(96470+2398*sqrt(5))*j)^0.2));

二．求cos(2*n*pi/23) n=1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18

1.首先不妨假定cos(2*n*pi/23)包含10个共轭复11次根式的加和。为了剥离出这10个11次根式，进行如下推导。

E0=2*(cos(2*pi/23)+cos(4*pi/23)+cos(8*pi/23)+cos(16*pi/23)+cos(32*pi/23)+cos(18*pi/23)+cos(36*pi/23)+cos(26*pi/23)+cos(6*pi/23)+cos(12*pi/23)+cos(24*pi/23))=-1;

E1=2*(cos(2*pi/23)+w1*cos(4*pi/23)+w2*cos(8*pi/23)+w3*cos(16*pi/23)+w4*cos(32*pi/23)+w5*cos(18*pi/23)+w6*cos(36*pi/23)+w7*cos(26*pi/23)+w8*cos(6*pi/23)+w9*cos(12*pi/23)+w10*cos(24*pi/23));

E2=2*(cos(2*pi/23)+w2*cos(4*pi/23)+w4*cos(8*pi/23)+w6*cos(16*pi/23)+w8*cos(32*pi/23)+w10*cos(18*pi/23)+w1*cos(36*pi/23)+w3*cos(26*pi/23)+w5*cos(6*pi/23)+w7*cos(12*pi/23)+w9*cos(24*pi/23));

E3=2*(cos(2*pi/23)+w3*cos(4*pi/23)+w6*cos(8*pi/23)+w9*cos(16*pi/23)+w1*cos(32*pi/23)+w4*cos(18*pi/23)+w7*cos(36*pi/23)+w10*cos(26*pi/23)+w2*cos(6*pi/23)+w5*cos(12*pi/23)+w8*cos(24*pi/23));

E4=2*(cos(2*pi/23)+w4*cos(4*pi/23)+w8*cos(8*pi/23)+w1*cos(16*pi/23)+w5*cos(32*pi/23)+w9*cos(18*pi/23)+w2*cos(36*pi/23)+w6*cos(26*pi/23)+w10*cos(6*pi/23)+w3*cos(12*pi/23)+w7*cos(24*pi/23));

E5=2*(cos(2*pi/23)+w5*cos(4*pi/23)+w10*cos(8*pi/23)+w4*cos(16*pi/23)+w9*cos(32*pi/23)+w3*cos(18*pi/23)+w8*cos(36*pi/23)+w2*cos(26*pi/23)+w7*cos(6*pi/23)+w1*cos(12*pi/23)+w6*cos(24*pi/23));

E1~E5都是单个11次复根式，模长平方全都等于23。

E6=23/E5; E7=23/E4; E8=23/E3; E9=23/E2; E10=23/E1;

H1=E1^11; H2=E2^11; H3=E3^11; H4=E4^11; H5=E5^11;

H6=E6^11; H7=E7^11; H8=E8^11; H9=E9^11; H10=E10^11;

2.我们大胆假定H1~H10是能只用11次单位根线性表示的。这需要待定系数。

为方便计算：H0=44439427，用Magma验证：

(H1+H2+H3+H4+H5+H6+H7+H8+H9+H10+H0)/11=8850676;

(H1/w1+H2/w2+H3/w3+H4/w4+H5/w5+H6/w6+H7/w7+H8/w8+H9/w9+H10/w10+H0)/2783=17118;

(H1/w2+H2/w4+H3/w6+H4/w8+H5/w10+H6/w1+H7/w3+H8/w5+H9/w7+H10/w9+H0)/2783=-56865;

(H1/w3+H2/w6+H3/w9+H4/w1+H5/w4+H6/w7+H7/w10+H8/w2+H9/w5+H10/w8+H0)/2783=-7169;

(H1/w4+H2/w8+H3/w1+H4/w5+H5/w9+H6/w2+H7/w6+H8/w10+H9/w3+H10/w7+H0)/2783=67337;

(H1/w5+H2/w10+H3/w4+H4/w9+H5/w3+H6/w8+H7/w2+H8/w7+H9/w1+H10/w6+H0)/2783=7670;

(H1/w6+H2/w1+H3/w7+H4/w2+H5/w8+H6/w3+H7/w9+H8/w4+H9/w10+H10/w5+H0)/2783=75855;

(H1/w7+H2/w3+H3/w10+H4/w6+H5/w2+H6/w9+H7/w5+H8/w1+B9/w8+H10/w4+H0)/2783=8928;

(H1/w8+H2/w5+H3/w2+H4/w10+H5/w7+H6/w4+H7/w1+H8/w9+H9/w6+H10/w3+H0)/2783=32900;

(H1/w9+H2/w7+H3/w5+H4/w3+H5/w1+H6/w10+H7/w8+H8/w6+H9/w4+H10/w2+H0)/2783=-5107;

(H1/w10+H2/w9+H3/w8+H4/w7+H5/w6+H6/w5+H7/w4+H8/w3+H9/w2+H10/w1+H0)/2783=0;

这样：

H1=8850676+253*(17118*w1-56865*w2-7169*w3+67337*w4+7670*w5+75855*w6+8928*w7+32900*w8-5107*w9);

H2=8850676+253*(17118*w2-56865*w4-7169*w6+67337*w8+7670*w10+75855*w1+8928*w3+32900*w5-5107*w7);

H3=8850676+253*(17118*w3-56865*w6-7169*w9+67337*w1+7670*w4+75855*w7+8928*w10+32900*w2-5107*w5);

H4=8850676+253*(17118*w4-56865*w8-7169*w1+67337*w5+7670*w9+75855*w2+8928*w6+32900*w10-5107*w3);

H5=8850676+253*(17118*w5-56865*w10-7169*w4+67337*w9+7670*w3+75855*w8+8928*w2+32900*w7-5107*w1);

以上H1~H5的模长平方都恰好是23^11。

H6=(23^11)/H5;

H7=(23^11)/H4;

H8=(23^11)/H3;

H9=(23^11)/H2;

H10=(23^11)/H1;

G1=H1^(1/11); G2=H2^(1/11); G3=H3^(1/11); G4=H4^(1/11); G5=H5^(1/11);

G6=H6^(1/11); G7=H7^(1/11); G8=H8^(1/11); G9=H9^(1/11); G10=H10^(1/11);

以上G值辐角取H范围为(-pi,pi)辐角主值除以11。

3.最后组装。E1~E10的值，与G1~G10的值的比值是11次单位根，用Magma推算：

cos(2*pi/23)=(-1+w3*G1+w8*G10+w1*G2+w10*G9+w2*G3+w9*G8+w8*G4+w3*G7+G5+G6)/22;

cos(4*pi/23)=(-1+w1*G1+w10*G10+w8*G2+w3*G9+w7*G3+w4*G8+G4+G7+w1*G5+w10*G6)/22;

cos(8*pi/23)=(-1+w10*G1+w1*G10+w4*G2+w7*G9+w1*G3+w10*G8+w3*G4+w8*G7+w2*G5+w9*G6)/22;

cos(16*pi/23)=(-1+w8*G1+w3*G10+G2+G9+w6*G3+w5*G8+w6*G4+w5*G7+w3*G5+w8*G6)/22;

cos(32*pi/23)=(-1+w6*G1+w5*G10+w7*G2+w4*G9+G3+G8+w9*G4+w2*G7+w4*G5+w7*G6)/22;

cos(18*pi/23)=(-1+w4*G1+w7*G10+w3*G2+w8*G9+w5*G3+w6*G8+w1*G4+w10*G7+w5*G5+w6*G6)/22;

cos(36*pi/23)=(-1+w2*G1+w9*G10+w10*G2+w1*G9+w10*G3+w1*G8+w4*G4+w7*G7+w6*G5+w5*G6)/22;

cos(26*pi/23)=(-1+G1+G10+w6*G2+w5*G9+w4*G3+w7*G8+w7*G4+w4*G7+w7*G5+w4*G6)/22;

cos(6*pi/23)=(-1+w9*G1+w2*G10+w2*G2+w9*G9+w9*G3+w2*G8+w10*G4+w1*G7+w8*G5+w3*G6)/22;

cos(12*pi/23)=(-1+w7*G1+w4*G10+w9*G2+w2*G9+w3*G3+w8*G8+w2*G4+w9*G7+w9*G5+w2*G6)/22;

cos(24*pi/23)=(-1+w5*G1+w6*G10+w5*G2+w6*G9+w8*G3+w3*G8+w5*G4+w6*G7+w10*G5+w1*G6)/22;

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